¿Qué es una derivada?

Imagina un coche en movimiento. Cada segundo que pasa recorre una distancia distinta: a veces avanza más rápido, a veces más despacio, a veces se detiene por completo.

Si quieres saber qué tan rápido va ese coche justo en un instante exacto —no de media durante todo el trayecto, sino en ese momento preciso—, necesitas una herramienta matemática que mida el cambio con esa precisión.

Esa herramienta es la derivada. De forma general, una derivada mide qué tan rápido está cambiando algo, justo en un punto concreto.

Una derivada responde, básicamente, a esta pregunta: ¿qué tan rápido está cambiando algo ahora mismo?

Esta idea aparece en muchas situaciones. La velocidad de un coche es la derivada de su posición: indica qué tan rápido cambia la distancia recorrida. El crecimiento de una población es la derivada de su tamaño: indica qué tan rápido aumenta o disminuye. Y la forma en que sube o baja la temperatura a lo largo del día también se puede describir con una derivada.

En todos estos casos se pregunta lo mismo: ¿qué tan rápido cambia esta cantidad, justo en este momento?

Antes de escribir esta idea con matemáticas hace falta un concepto más: la función.

Una función es una regla que relaciona una entrada con un resultado: le das un número, la función lo transforma según su regla, y te devuelve otro número. Se escribe como f(x), donde x es la entrada.

Por ejemplo, la función f(x) = x² toma un número y lo eleva al cuadrado. Si x vale 2, el resultado es 4:

Ya tienes f(x): una función que produce un resultado a partir de una entrada. Ahora puedes preguntarte: ¿qué tan rápido cambia ese resultado cuando x cambia un poco?

La respuesta a esa pregunta es otra función, llamada la derivada de f, que se escribe f'(x) (se lee "efe prima de equis"). f'(x) no es el valor de f en un punto: es qué tan rápido está cambiando f en ese punto.

En otras palabras: si f(x) te dice cuánto vale algo, f'(x) te dice qué tan rápido está cambiando ese algo.

Hay una forma de ver f'(x) que ayuda a entenderla mejor: en una gráfica, f'(x) es la pendiente de la curva en el punto x.

La pendiente mide qué tan inclinada está una línea. Una línea que sube rápidamente tiene una pendiente grande. Una línea casi horizontal cambia poco y tiene una pendiente pequeña. Una línea que baja tiene una pendiente negativa.

Para medir la pendiente exacta de una curva en un punto —no de una línea recta, sino de una curva que se dobla— se traza la recta tangente en ese punto: la línea recta que toca la curva justo ahí, sin cruzarla. La pendiente de esa recta tangente es, precisamente, la derivada.

¿Cómo se encuentra esa recta tangente? Se empieza con una recta secante, una línea que une dos puntos cualquiera de la curva. Si el segundo punto se va acercando cada vez más al primero, la secante gira poco a poco hasta convertirse en la tangente.

Ya sabes que f'(x) = 2x. Eso significa que la derivada no es un solo número: es otra función, que depende de x. Puedes evaluarla en cualquier punto para saber qué tan rápido cambia f en ese punto exacto.

En otras palabras: en x = 3 la función f(x) = x² está cambiando más rápido que en x = 1. Cuanto mayor es el valor de f'(x) en un punto, más inclinada está la curva ahí, y más rápido está cambiando la función.