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Aprende Derivadas · Tema 4 de 8

Regla del producto

Explicación

Cuando una función es el producto de otras dos, h(x) = f(x)·g(x), no basta con multiplicar las derivadas: hay que usar la regla del producto: h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x).

En palabras: se deriva la primera función y se multiplica por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda.

Ejemplo resuelto

En f(x) = x²·sen(x), la primera función es x² y la segunda es sen(x); aplicamos la fórmula del producto con ambas.

ddx[x2⋅sin⁡(x)]\frac{d}{dx}\left[{ x}^{2}\cdot\sin\left( x\right)\right]

Resultado

2⋅x⋅sin⁡(x)+x2⋅cos⁡(x)2\cdot x\cdot\sin\left( x\right)+{ x}^{2}\cdot\cos\left( x\right)

Método utilizado

Regla del producto

Pasos de resolución

  1. 1

    Aplicamos la regla del producto

    (f · g)' = f' · g + f · g'

    ddx[x2⋅sin⁡(x)]=ddx[x2]⋅sin⁡(x)+ddx[sin⁡(x)]⋅x2\frac{d}{dx}\left[{ x}^{2}\cdot\sin\left( x\right)\right] = \frac{d}{dx}\left[{ x}^{2}\right]\cdot \sin\left( x\right) + \frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right]\cdot { x}^{2}
  2. 2

    Derivamos la primera función

    ddx[x2]=2⋅x\frac{d}{dx}\left[{ x}^{2}\right] = 2\cdot x
  3. 3

    Derivamos la segunda función

    ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)
  4. 4

    Sustituimos

    =(2⋅x)⋅(sin⁡(x))+(cos⁡(x))⋅(x2)= \left(2\cdot x\right)\cdot\left(\sin\left( x\right)\right)+\left(\cos\left( x\right)\right)\cdot\left({ x}^{2}\right)
  5. 5

    Simplificamos

    =2⋅x⋅sin⁡(x)+x2⋅cos⁡(x)= 2\cdot x\cdot\sin\left( x\right)+{ x}^{2}\cdot\cos\left( x\right)

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