Aprende Límites · Tema 6 de 6

Regla de L'Hôpital

Explicación

La regla de L'Hôpital dice que si lim (x→a) f(x)/g(x) da una indeterminación 0/0 o ∞/∞, entonces ese límite es igual a lim (x→a) f'(x)/g'(x): el límite del cociente de las derivadas, siempre que este último exista.

Es una herramienta muy potente porque evita tener que factorizar, racionalizar o usar identidades trigonométricas: basta con derivar numerador y denominador por separado (no dividir término a término, sino derivar cada uno) y volver a intentar la sustitución.

Nuestra calculadora usa exactamente esta regla como parte de su proceso: cuando detecta una indeterminación en un cociente, deriva numerador y denominador automáticamente y comprueba que el resultado coincide con la aproximación numérica antes de mostrarlo.

Ejemplo resuelto

Sustituir x = 0 en sen(x)/x da 0/0. Derivando numerador y denominador por separado, sen(x)/x se convierte en cos(x)/1, que en x = 0 vale 1.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{ x}

Resultado

1

Método utilizado

Regla de L'Hôpital

Los pasos combinan aproximación numérica y, cuando aplica, la regla de L'Hôpital — no son una demostración algebraica completa (no incluyen factorización, identidades trigonométricas, etc.).

Pasos de resolución

1
La sustitución directa produce una indeterminación (0/0, ∞/∞ u otra).
2
Aplicamos la regla de L'Hôpital
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) cuando el límite original es una indeterminación 0/0 o ∞/∞.
3
Simplificamos y expresamos el resultado.

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