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Aprende Integrales · Tema 7 de 8

Integración por partes

Explicación

Cuando hay que integrar un producto de dos funciones de tipo distinto (por ejemplo, un polinomio por una función trigonométrica o exponencial), la regla de la potencia y la regla de la constante no bastan: se usa integración por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du.

Hay que elegir qué parte del producto es u (se deriva) y cuál es dv (se integra). Una guía habitual es priorizar como u la parte que se simplifica al derivar, como un polinomio, dejando la función trigonométrica o exponencial como dv.

Ejemplo resuelto

En f(x) = x·sen(x), tomamos u = x (se simplifica al derivar) y dv = sen(x) dx (fácil de integrar), y aplicamos la fórmula.

∫x⋅sin⁡(x) dx\int x\cdot\sin\left( x\right)\,dx

Resultado

sin⁡(x)−x⋅cos⁡(x)+C\sin\left( x\right)- x\cdot\cos\left( x\right) + C

Método utilizado

Integración simbólica

Pasos de resolución

  1. 1

    Aplicamos la tabla de integrales

    ∫ sin u du = -cos u

    ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin\left( x\right)\,dx = -\cos\left( x\right)
  2. 2

    Aplicamos integración por partes (u = x, dv = sin(x) dx)

    ∫u dv = u·v − ∫v du

    ∫x⋅sin⁡(x) dx=(x)⋅(−cos⁡(x))−∫(−cos⁡(x))⋅(1) dx\int x \cdot \sin\left( x\right)\,dx = ( x) \cdot (-\cos\left( x\right)) - \int (-\cos\left( x\right)) \cdot (1)\,dx
  3. 3

    Aplicamos la tabla de integrales

    ∫ cos u du = sin u

    ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)
  4. 4

    Combinamos los resultados

    =sin⁡(x)−x⋅cos⁡(x)+C= \sin\left( x\right)- x\cdot\cos\left( x\right) + C

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