Suma y resta — Aprende Integrales

Explicación

La integral de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de sus integrales: ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx.

Esto permite integrar un polinomio término a término: se aplica la regla que corresponda a cada término (normalmente la regla de la potencia) y luego se combinan los resultados con el mismo signo que tenían en la expresión original, añadiendo una única constante C al final.

Ejemplo resuelto

En f(x) = x³ + 4x² − 2x integramos cada término por separado y sumamos los resultados con su signo.

\int { x}^{3}+4\cdot{ x}^{2}-2\cdot x\,dx

Resultado

\frac{{ x}^{4}}{4}+\frac{{ x}^{3}\cdot4}{3}-{ x}^{2} + C

Método utilizado

Integración simbólica

Pasos de resolución

1
Separamos la integral por linealidad
∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
$\int { x}^{3}+4\cdot{ x}^{2} - 2\cdot x\,dx = \int { x}^{3}+4\cdot{ x}^{2}\,dx - \int 2\cdot x\,dx$
2
Separamos la integral por linealidad
∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
$\int { x}^{3} + 4\cdot{ x}^{2}\,dx = \int { x}^{3}\,dx + \int 4\cdot{ x}^{2}\,dx$
3
Aplicamos la regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
$\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1}$
4
Simplificamos
$= \frac{{ x}^{4}}{4}$
5
Extraemos la constante
∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx
$\int 4 \cdot { x}^{2}\,dx = 4 \cdot \int { x}^{2}\,dx$
6
Aplicamos la regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
$4 \cdot \int { x}^{2}\,dx = 4 \cdot (\frac{{ x}^{3}}{3})$
7
Simplificamos
$= \frac{{ x}^{3}\cdot4}{3}$
8
Combinamos los resultados
$= \frac{{ x}^{4}}{4}+\frac{{ x}^{3}\cdot4}{3}$
9
Extraemos la constante
∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx
$\int 2 \cdot x\,dx = 2 \cdot \int x\,dx$
10
Aplicamos la regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
$2 \cdot \int x\,dx = 2 \cdot (\frac{{ x}^{2}}{2})$
11
Simplificamos
$= { x}^{2}$
12
Combinamos los resultados
$= \frac{{ x}^{4}}{4}+\frac{{ x}^{3}\cdot4}{3}-{ x}^{2} + C$

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