¿Qué es una integral?

Una integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas de una función f(x): todas las funciones F(x) cuya derivada es f(x). Se escribe ∫f(x) dx = F(x) + C, y es la operación inversa de derivar. A diferencia de la integral definida, que da como resultado un número, la integral indefinida siempre da como resultado otra función.

La constante C aparece porque la derivada de cualquier constante es 0: si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x) + 5, F(x) − 2 o F(x) + C también lo son, para cualquier número C. Por eso la integral indefinida no da una única función, sino una familia completa de funciones.

La integral indefinida tiene dos usos principales. El primero es recuperar una cantidad a partir de su ritmo de cambio: por ejemplo, si conoces la velocidad de un objeto en cada instante, calcular su primitiva te da la posición salvo una constante, que se determina con la posición inicial. El segundo es la base para calcular áreas: el área entre una curva y el eje x se obtiene a partir de su primitiva, evaluada entre dos límites con una integral definida. Ambos usos la convierten en una herramienta central del cálculo.